Nombres rationnels

Définitions

Un nombre rationnel est un nombre s'écrivant sous la forme \(\dfrac{a}{b}\) avec \(a\in\mathbb{Z}\) et \(b\in\color{red}{\mathbb{Z}^*}\).
L'ensemble des nombres rationnels se note \(\mathbb{Q}\).
\(\)On a alors : \(\mathbb{Q}=\left\lbrace \dfrac{a}{b} \quad\text{où}\quad a\in \mathbb{Z}\;\text{et}\;b\in\mathbb{Z}^* \right\rbrace\).

Propriété

L'ensemble des nombres décimaux est inclus dans l'ensemble des nombres rationnels. On a donc : \(\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\).
Comme l'ensemble des nombres décimaux contient l'ensemble des nombres entiers relatifs qui contient lui même l'ensemble des nombres entiers naturels, on obtient : \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\).

Exemples

• \(\dfrac{2}{5}\in\mathbb{Q}\) or \(\dfrac{2}{5}=0,4=\dfrac{4}{10}\in\mathbb{D}\) mais \(\dfrac{2}{5}\notin\mathbb{Z}\) .
  Donc le plus petit ensemble dans lequel se trouve le nombre \(\dfrac{2}{5}\) est l'ensemble \(\mathbb{D}\).
• \(\dfrac{2}{3}\in\mathbb{Q}\) mais \(\dfrac{2}{3}\notin\mathbb{D}\).
  Donc le plus petit ensemble dans lequel se trouve le nombre \(\dfrac{2}{3}\) est \(\mathbb{Q}\).